7. BÖLÜM: FİNANS MATEMATİĞİ
7.1. Paranın Zaman Değeri
Günümüzde finans dünyası açısından en temel ve en önemli kavramlardan bir tanesi paranın zaman değeri kavramıdır. Zaman değeri kavramının anlaşılması para yönetiminde, farklı yatırım kararlarında, kredi şartlarının belirlenmesinde, sermaye bütçelemesinde işletmenin kabul edeceği projelerin belirlenmesinde gereklidir. Bunlar paranın zaman değerinin ilgili olduğu sadece bir kaç konudur. Paranın zaman değeri finansın üç önemli bölümü olan yatırım, para ve sermaye piyasaları, ve finans yönetimi ile yakından ilgilidir. Bu nedenle finansı anlayabilmek için paranın zaman değerini anlamak gerekir.
Bugünün 1 TL’si ile geleceğin 1 TL’si arasındaki değer farkı her türlü işletme kararlarında finansal açıdan önem taşımaktadır. Örneğin; bir işletmenin gelecek dokuz yıl boyunca her yıl 200 milyon TL. getirecek bir projeye 1 milyar TL. yatırım yapma kararı ancak bu açıdan ele alındığında sağlıklı bir sonuç elde edilebilir. İşletme bu yatırımı yapmaya karar vermeli mi? İlk incelemede toplam gelir olan 1.800 milyon TL’nin (200 milyon x 9 yıl) 1 milyar TL’Iik yatırımdan daha fazla olduğu sonucuna varılarak olumlu yaklaşılabilinir. Ancak her yıl alınacak olan 200 milyon gelecekte ele geçecek iken 1 milyar hemen ödenecektir. Bunun yanında 1 milyarlık ödeme kesin olarak bugün gerçekleşirken gelecekteki gelirler ancak tahmin edilebilir. Projeyi kabul ederken bugünkü 1 TL ile gelecekteki kesinliği olmayan 1 TL arasındaki ilişkinin bilinmesi gerekir ( Ross, Westertield, Jaffe, s.77). Bu aradaki ilişki paranın zaman değeri kavramıdır.
Paranın zaman değeri bugün alınan 1 TL’nin yarın alınacak 1 TL’den daha değerli olduğu yaklaşımıdır. Bunun nedeni yarın gelecek olan paranın bugün alınamamasının riskidir. Doğal olarak riskli para garanti paradan daha az değer taşır. Bunların yanı sıra para ne kadar erken ele geçerse o kadar fazla yatırım için kullanma imkanı doğar.
Şirketler birçok şeye yatırım yaparlar. Bunlardan bazıları maddî varlıklardır – yani, fabrikalar, makineler ve bürolar gibi, tepe tepe kullanabileceğiniz varlıklar. Bazıları da, patentler ve ticarî markalar gibi, maddî olmayan varlıklardır. Her durumda şirket, ileride daha çok para alma umuduyla şimdi bir miktar para harcar.
Bireyler de yatırımlar yaparlar. Örneğin, üniversite öğreniminiz size 30.000 dolara mal olabilir. Bu, yaşamınızın ileriki aşamalarında daha yüksek bir ücret şeklinde geri almayı umduğunuz bir yatırımdır. Şimdi ekiyorsunuz, ileride biçmeyi bekliyorsunuz.
Şirketler yatırımlarını para sağlayarak ve borçlanarak öderler. Örneğin, bir bankadan borç para alabilir ve bunu daha sonra faiziyle geri ödemeye söz verebilirler. Siz de üniversite öğreniminde yatırımınızı, söz konusu yüksek ücretle geri ödemeyi planladığınız borç parayla finanse etmiş olabilirsiniz.
Bütün bu finansal kararlar farklı tarihlerdeki nakit ödemelerin karşılaştırılmasını gerektirir.
7.1.1.Gelecekteki Değer
sizin bir banka hesabında yatırım yapmak için 100 dolarınız var. Bankaların şu anda mevduata yıllık yüzde 6 faiz ödediklerini varsayın. Böylece, bir yıl sonra hesabınız 6 dolar faiz kazanacaktır:
Faiz = Faiz oranı x başlangıç yatırımı = 0.06 x 100 $ = 6 $
Yıla 100 dolarla başlıyorsunuz ve 6 dolar faiz kazanıyorsunuz, böylece yılın sonunda yatırımınız 106 dolara yükselecektir:
1 yıl sonra yatırımın değeri = 100 $ + 6 $ = 106 $
Dikkat ederseniz; yatırılan 100 dolar, 1 + 0.06 = 1.06 faktörüyle büyümektedir. Genelde herhangi; bir r faiz oranı için, 1. yılın sonunda yatırımın değeri, yatırımın(1+r) katıdır:
1 yıl sonraki değer = başlangıç yatırımı x (1 + r) = 100 $ x (1.06) = 106 $
İkinci bir yıl için paranızı bankada bırakırsanız ne olur? Şimdi 106 dolar olan bakiyeniz, yüzde 6 faizi kazanmaya devam edecektir. Böylece,
2. yılda faiz = 0.06 x 106$ - 6.36 $
olur. İkinci yıla, 106 dolarla başlar ve bunun üzerinden 6.36 dolar faiz kazanırsınız. Böylece yılın sonunda hesabınızın değeri, 106 + 6.36 = 112.36 dolara yükselir.
İlk yılda 100 dolar yatırımınız 1.06 faktörüyle 106 dolara yükselecektir; ikinci yılda 106 dolar yine 1. faktörüyle 112.36 dolara yükselecektir. Böylece 100 dolar başlangıç yatırımı 1.06 faktörüyle iki kez büyüyecektir.
2 yıl sonra hesabın değeri = 100 $ x 1.06 x 1.06
= 100 $X(1.06)2 = 112.36 $.
Paranızı üçüncü bir yıl için yatırımda tutarsanız, yatırımınız 3 yıl içinde her yıl 1.06 ile çarpılır. Üçüncü yılın sonunda 100 $ x (1.06)3 = 199.10 $ tutarına ulaşır. Bu sizi milyonerler sınıfına oturtmaya pek yeterli değildir, fakat milyonerler bile bir yerden başlamak zorundadır.
Açıkçası t yıllık bir yatırım ufku için, 100 dolarlık ilk yatırım 100 $ x (1.06)t ye yükselecektir. r faiz oranı t yıllık bir zaman ufku için yatırımın gelecekteki değeri şöyle olacaktır:
100 doların gelecekteki değeri = 100 x (1+r)r
Dikkat ederseniz örneğimizde birinci yılda faiz geliriniz 6 dolar (100 doların yüzde 6'sı), ikinci yılda 6.36 dolardır (106 doların yüzde 6'sı). İkinci yılda geliriniz daha yüksektir, çünkü şimdi hem ilk yatırımınız hem de bir önceki yılda kazanılan 6 dolarlık faiz faiz kazanmaktadır. Faiz üzerinden faiz kazancına bileşik faiz veya bileşik faiz yürütme denir. Aksine, banka sadece ilk yatırımınız üzerinden faiz hesaplarsa, size basit faiz ödenmiş olacaktır.
Tablo 3.1 ve Şekil 3.1 bileşik faizin işleyişini göstermektedir. Tablo 3.1, her yıl hesabınıza daha büyük bir bakiye ile başladığınızı gösterir – tasarrufunuz bir önceki yılın faizi kadar büyümüştür. Sonuç olarak, faiz geliriniz de daha yüksektir.
Açık ki, faiz oranı büyüdükçe tasarrufunuz daha hızlı büyüyecektir. Şekil 3.2, bileşik faize eklenen küçük orandaki bir yüzdenin tasarruf hesabınızın gelecekteki bakiyesini çarpıcı biçimde etkileyebileceğini göstermektedir. Örneğin; yüzde 10'dan yatırılan 1000 dolar, 10 yıl sonra, 1000 $ x (1.1.0)10 = 2594 $’a yükselecektir. Yüzde 5'ten yatırılırsa, sadece 1000 $ x (1.05)10 = 1629 $'a yükselecektir.
Gelecekteki değerler, herhangi bir hesap makinesi kullanılarak kolaylıkla hesaplanabilir. Sabrınız varsa, ilk yatırımınızı, yatırımınızın her yıl için 1 + r (örneğimizde 1.06) ile çarpabilirsiniz. Daha kolay bir yol, hesap makinenizde kuvvet (power) tuşunu (y tuşu) kullanmaktır. Örneğin 1.06)10’u girin, = tuşuna basın, yanıtın 1.791 olduğunu görürsünüz. (Deneyin!)
TABLO 1.1
Bileşik faiz
Yılın Başında Yıl Boyunca Yıl Sonunda
Yıl Bakiye Kazanılan Faiz Bakiye
1 100.00 $ 0.06 x 100.00 $ = 6.00 $ 106.00 $
2 106.00 $ 0.06 x 106.00 $ = 6.36 $ 112.36 $
3 112.36 $ 0.06 x 112.36 $ = 6.74 $ 119.10 $
4 119.10 $ 0.06 x 119.10 $ = 7.15 $ 126.25 $
5 126.25 $ 0.06 x 126.25 $ = 7.57 $ 122.82 $
TABLO 1.2
1 doların gelecekteki değeri
|
|
|
Yıllık Faiz |
Oranı |
|
|
|
|
Yılların
Sayısı |
% 5 |
% 6 |
% 7 |
% 8 |
% 9 |
% 10 |
|
1 |
1.050 |
1.060 |
1.070 |
1.080 |
1.090 |
1.100 |
|
2 |
1.103 |
1.124 |
1.145 |
1.166 |
1.188 |
1.210 |
|
3 |
1.158 |
1.191 |
1.225 |
1.260 |
1.295 |
1.331 |
|
4 |
1.216 |
1.262 |
1.311 |
1.360 |
1.412 |
1.464 |
|
5 |
1.276 |
1.338 |
1.403 |
1.469 |
1.539 |
1.611 |
|
10 |
1.629 |
1.791 |
1.967 |
2.159 |
2.367 |
2.594 |
|
20 |
2.653 |
3.207 |
3.870 |
4.661 |
5.604 |
6.727 |
|
30 |
4.322 |
5.743 |
7.612 |
10.063 |
13.268 |
17.449 |
ÖRNEK 1.1 Manhattan Adası
Hemen herkesin bileşik faizin gücüyle ilgili gözde örneği, Manhattan Adası'nın 1616'da, Peter Minuit'e 24 dolara satılmasıdır. Bugünkü New York gayrimenkul fiyatları temelinde, Minuit büyük bir alışveriş yapmış görünüyor. Fakat, yılda yüzde 8’lik bir faiz oranıyla 368 yıl için yatırılmış olsaydı söz konusu 24 doların gelecekteki değerlerini düşünün:
24 x (1.08)368 = 47.880.000.000.000
= 47.880 milyar dolar
Belki alışveriş göründüğü kadar iyi değildi. Manhattan'da arazinin toplam değeri bugün olsa olsa 51 milyar dolar dolayındadır.
Eğlenceli olmasına rağmen bu analiz gerçekte şu veya bu biçimde aldatıcıdır. Önce, tarihî standartlara göre gelecekteki değeri hesaplamak için kullandığımız yüzde 8 faiz oranı hayli yüksektir. Tarihî uygulamayla daha uyumlu yüzde 3.5'luk bir faiz oranında, 24 doların gelecekteki değeri çarpıcı bir biçimde düşük olurdu: Sadece 24 $ x (1.035)368 = 7.555.444 $! İkincisi, Bay Minuit'e ve varislerine getirilen eksik gösterdik. Geçmiş üç veya dört yüzyıl boyunca ada arazisinin yarattığı tüm kira gelirlerini unuttuk.
Her şeyi göz önünde tutarak, eğer 1626'larda yaşamış olsaydık ada için seve seve 24 dolar öderdik.
Bileşik faiz yürütmenin gücü parayla sınırlı değildir. Ormancılar ağaçların bileşik büyüme oranını, nüfusbilimciler nüfusun bileşik büyüme hızını tahmin etmeye çabalarlar. Bir sosyal yorumcu, Birleşik Devletler’de avukatların sayısının genellikle nüfustan daha yüksek bir bileşik oranda (1980’lerde yüzde 0.9’a karşı yüzde 3.6 arttığını gözlemledi ve yaklaşık iki yüzyıl içinde nüfustan daha çok avukat olacağını hesapladı.
7.1.2 Yıllık Bileşik Faiz Oranına Karşı Yıllık Basit Faiz Oranı
Faiz oranlan günler; aylar, yıllar veya herhangi bir uygun zaman aralığı için belirlenebilir. Örneğin, kredi kartı ödemelerinizi hesaplarken aylık bir faiz oram kullandık. Peter Minuit'in yatırımının değerini hesaplarken yıllık bir oran kullandık. Aylık ve yıllık gibi farklı dönemler için belirlenmiş oranlan nasıl karşılaştırmalıyız?
Örnek 3.2' de kredi kartınıza yüklenen faizle ilgili analizimiz, aylık bir
oranın fiilî yıllık faiz oranına nasıl çevrildiğini açıklamaktadır. Aylık yüzde
l' den bir yıllık faizin ödenmemiş bakiyenizi bir yıl sonra (1.01)12 = 1.1268
faktörüyle artırdığını gördük. Bakiye yüzde 12.68 artar. Dolayısıyla, fiili
yıllık faiz oranının veya aynı anlamda borç üzerindeki yıllık bileşik oranın
yüzde 12.68' olduğunu söyleriz.
Fiili yıllık faiz oranı, bileşik faiz yürütmenin etkilerini dikkate alarak genellikle, fonların yıllık büyüme oranı diye tanımlanır. Dolayısıyla: (1+yıllık oran)= (1 + aylık oran)12
Faiz oranlarını karşılaştırırken, fiilî yıllık oranları kullanmak en iyisidir,
çünkü bu dönem içerisinde mümkün olan bileşik faiz yürütmeyi hesaba katarak
ortak bir dönem boyunca büyümesini karşılaştırır. Ne yazık ki,
yaygın uygulama, doneme ait:oran bir yıldaki donem sayılarıyla çarparak basit faiz kullanımıyla kısa vadeli oranları yıllığa çevirir. Gerçekten bir Birleşik Devletler de, ödünç para verme yasaları oranların bu şekilde yıllığa dönüştürülmesini gerektirir. Bu tür oranlara yıllık yüzde oranları denir. Böylece aylık yüze 1’lik kredi kartı borcumuz yıllık yüzde 12.68 bileşik faizi, fakat yüzde 12 YYO’su vardır.
Bileşik faiz Yıl başına Dönem Başına Yatırılan Fonların Fiili Yıllık
Yürütme Düşen Faiz oranı % Büyüme Faktörü Oran%
Dönemi Dönemler
|
1 yıl |
1 |
6 |
1.06 |
6.000 |
|
Altı aylık |
2 |
3 |
1.032= 1.0609 |
6.0900 |
|
Üç aylık |
4 |
1.5 |
1.0154= 1.061364 |
6.1364 |
|
Aylık |
12 '■ |
0.5 |
1.00512 = 1.061678 |
6.1678 |
|
Haftalık |
52 |
0.11S38 |
l,001153852= 1.061800 |
6.1800 |
|
Günlük |
365 |
0.01644 |
1.0001644365 = 1.061831 |
6.1831 |
Oranlar bir YYO temelinde belirleniyorsa, fiilî yıllık faizi nasıl bulabiliriz? Çözüm basittir: Borca fiilen yüklenen döneme ait özgün oranı bulmak için, önce, belirlenmiş YYO’yu alın ve bir yıldaki bileşik faiz yürütülen dönem sayısına bölün. Sonra bunun karşılığı yıllık bileşik faizi hesaplayın. Örneğin, kredi kartı borcunun faizi YYO şeklinde yüzde 12 olarak belirlenmiş olacaktır. Faiz-aylık hesaplandığından, bir yılda, 12 bileşik faiz yürütme dönemi vardır. Dolayısıyla aylık, faizi bulmak için önce bunu 12'ye böleriz: Yüzde 1. Sonra yıllık bileşik faize çeviririz:
(1+ yıllık oran) = (1 + aylık oran)12 = (1+0.01)12 = 1.1268
